Question

（本題滿分12分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB=90°，點D為△ABC內一點，∠CAD=∠CBD=15°，E為AD延長線上的一點，且CE=CA．

（1）求證：DE平分∠BDC；

（2）若點M在DE上，且DC=DM，請判斷ME、BD的數量關系，并給出證明.

Answer 1

（1）見解析；（2）ME=BD

【解析】

試題分析：（1）因為在△ABC中，AC＝BC，∠ACB=90°，∠CAD=∠CBD=15°，所以∠BCD=∠ACD=45°，∠BAD=∠ABD=30°，所以根據三角形外角的性質可得∠CDE=∠BDE=60°；（2）ME=BD，連結MC，只需要證明△BDC≌△EMC即可.

試題解析：（1）證明：

∵AC＝BC

∴∠CBA=∠CAB

又∵∠ACB=90°

∴∠CBA=∠CAB=45°

又∵∠CAD=∠CBD=15°

∴∠DBA=∠DAB=30°

∴∠BDE=30°＋30°＝60°

又易證得△ADC≌△BDC

得∠ACD=∠BCD=45°

由外角得∠CDE=60°

得∠CDE=∠BDE=60°

所以DE平分∠BDC

（此小題證明方法不唯一，請參照給分）

（2）答：ME=BD

證明：連結MC

因為DC=DM, ∠CDE=60°，所以 △MCD為等邊三角形

所以CM=CD,又EC=CA,且∠EMC=120°，所以∠ECM=∠BCD=45°，所以△BDC≌△EMC

所以ME=BD

考點：1.等腰三角形的判定與性質；2.三角形的外角的性質；3.等邊三角形的判定與性質；4.全等三角形的判定與性質.