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在直角三角形ABC中,∠C=90°,點(diǎn)O為AB上的一點(diǎn),以點(diǎn)O為圓心,OA為半徑的圓弧與BC相切于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,連接AD.
(1)求證:AD平分∠BAC;
(2)已知AE=2,DC=,求圓弧的半徑.

【答案】分析:(1)連接OD,求出∠ODC=90°,推出OD∥AC,TUIC∠DAC=∠ODA,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出∠ODA=∠DAO=∠DAC,即可推出答案;
(2)過過O作OH⊥AC于H,根據(jù)垂徑定理求出AE,得出矩形OHCD,求出OH,在△AOH中,根據(jù)勾股定理求出半徑即可.
解答:(1)證明:連接OD,
∵OA為半徑的圓弧與BC相切于點(diǎn)D,
∴OD⊥BC,
∴∠ODB=∠C=90°,
∴OD∥AC,
∴∠ODA=∠CAD,
又∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∴∠CAD=∠OAD,
∴AD平分∠BAC.

(2)解:過O作OH⊥AC于H,
∵OH⊥AC,OH過O,
∴AH=HE=AE=1,
∵OD∥AC,OH⊥AC,∠C=90°,
∴OH∥CD,
∵OD∥AC,
∴四邊形OHCD是矩形,
∴OH=DC=
∴在Rt△AOH中,由勾股定理得:OA===2,
即圓弧的半徑是2.
點(diǎn)評:本題考查了切線性質(zhì),勾股定理,等腰三角形性質(zhì),平行線的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn),主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

6、如圖,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CA=4,點(diǎn)P是半圓弧AC的中點(diǎn),連接BP,線段即把圖形APCB(指半圓和三角形ABC組成的圖形)分成兩部分,則這兩部分面積之差的絕對值是
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=4,cosA=
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,那么AB=
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC=4,將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,精英家教網(wǎng)使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,點(diǎn)C落在點(diǎn)D處.P、Q分別為線段AC、AD上的兩個動點(diǎn),且AQ=2PC,連接PQ交線段AE于點(diǎn)M.
(1)設(shè)AQ=x,△APQ面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出它的定義域;
(2)若以點(diǎn)P為圓心,PC為半徑的圓與邊AB相切,求AQ的長;
(3)是否存在點(diǎn)Q,使得△AQM、△APQ和△APM這三個三角形中一定有兩個三角形相似?若存在請求出AQ的長;若不存在請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角三角形ABC中,∠C=90°,三內(nèi)角∠A,∠B,∠C的對邊分別是a,b,c,若a=15,c=25,則b=
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=20,BC=10,PQ=AB,P,Q兩點(diǎn)分別在線段AC和過點(diǎn)A且垂直于AC的射線AM上運(yùn)動,且點(diǎn)P不與點(diǎn)A,C重合,那么當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時,才能使△ABC與△APQ全等?

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