Question

數學課上，李老師出示范了如下框中的題目.

 

小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：

（1）特殊情況，探索結論

當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與DB的大小關系.請你直接寫出結論：AE      DB（填“＞”、“＜”或“=”）；

（2）特例啟發，解答題目

解：題目中，AE與DB的大小關系是：AE      DB（填“＞”、“＜”或“=”）.理由如下：

如圖2過點E作EF∥BC，交AC于點F；（請你完成以下解答過程）

（3）拓展結論，設計新題

在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC.若△ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長（請你直接寫出結果）.

 

Answer 1

【答案】

（1）=；（2）=；（3）1或3

【解析】

試題分析：（1）根據等邊三角形的性質和三角形的內角和定理求出∠D=∠ECB=30°，∠ABC=60°，求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案；

（2）作EF∥BC，證出等邊三角形AEF，再證△DBE≌△EFC即可得到答案；

（3）分為四種情況：畫出圖形，根據等邊三角形性質求出符合條件的CD即可．

（1）答案為：AE=DB；

（2）答案為：AE=DB

證明：在等邊△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，

∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，

∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，

∴AE=AF=EF，

∴AB-AE=AC-AF，

即BE=CF，

∵∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，

∵ED=EC，

∴∠EDB=∠ECB，

∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，

∴∠BED=∠FCE，

∴△DBE≌△EFC（SAS），

∴DB=EF，

∴AE=BD．

（3）分為四種情況：

如圖1：

∵AB=AC=1，AE=2，

∴B是AE的中點，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形（根據直角三角斜邊的中線等于斜邊的一半），

∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，

∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，

∴∠DEB=180°-30°-60°=90°，

即△DEB是直角三角形．

∴BD=2BE=2（30°所對的直角邊等于斜邊的一半），

即CD=1+2=3．

如圖2，

過A作AN⊥BC于N，過E作EM⊥CD于M，

∵等邊三角形ABC，EC=ED，

∴BN=CN=BC=，CM=MD=CD，AN∥EM，

∴△BAN∽△BEM，

∴，

∵△ABC邊長是1，AE=2，

∴，解得

∴CM=MN-CN=1-=，

∴CD=2CM=1；

如圖3，

∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC=120°），而∠ECD不能等于120°，否則△EDC不符合三角形內角和定理，

∴此時不存在EC=ED；

如圖4

∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，

又∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠ECD＞∠EDC，

即此時ED≠EC，

∴此時情況不存在，

答：CD的長是3或1．

考點：全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理，等邊三角形的性質和判定

點評：本題綜合性較強，難度較大，是中考常見題，綜合運用考點中的性質進行推理是解此題的關鍵．