Question

如圖所示，在?ABCD中，點E，F在對角線AC上，且AE=CF．請你以F為一個端點，和圖中已知標明字母的某一點連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只須證明一組線段相等即可）．
（1）連接

 

；
（2）猜想：

 

=

 

；
（3）證明．

Answer 1

分析：（1）已知條件是AE=CF，那么應構造AE和CF所在的三角形，所以連接BF．
（2）在兩個三角形中，已知其他兩條邊對應相等，那么所求的一定是第三條邊對應相等．
（3）利用平行四邊形的對邊平行且相等，加上已知條件利用SAS可證得這兩條邊所在的三角形全等，進而求得相應的線段相等．

解答：解：解法一：（如圖）

（1）連接BF．
（2）猜想：BF=DE．
（3）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC．
∴∠DAE=∠BCF．
在△BCF和△DAE中，

CB=AD ∠BCF=∠DAE CF=AE

∴△BCF≌△DAE，
∴BF=DE．

解法二：（如圖）

（1）連接BF．
（2）猜想：BF=DE．
（3）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AO=OC，DO=OB．
∵AE=FC，
∴AO-AE=OC-FC．
∴OE=OF．
∴四邊形EBFD為平行四邊形．
∴BF=DE．

解法三：（如圖）

（1）連接DF．
（2）猜想：DF=BE．
（3）證明：
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴CD∥AB，CD=AB．
∴∠DCF=∠BAE．
在△CDF和△ABE中：

CD=AB ∠DCF=∠BAE CF=AE

，
∴△CDF≌△ABE．
∴DF=BE．

點評：平行四邊形的判定方法共有五種，應用時要認真領會它們之間的聯系與區別，同時要根據條件合理、靈活地選擇方法．