Question

【題目】在平面內，C為線段AB外的一點，若以A，B，C為頂點的三角形為直角三角形，則稱C為線段AB的直角點. 特別地，當該三角形為等腰直角三角形時，稱C為線段AB的等腰直角點．

（1）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點M的坐標為，在點P1，P2，P3中，線段OM的直角點是 ；

（2）在平面直角坐標系xOy中，點A，B的坐標分別為，，直線l的解析式為．

①如圖2，C是直線l上的一個動點，若C是線段AB的直角點，求點C的坐標；

②如圖3，P是直線l上的一個動點，將所有線段AP的等腰直角點稱為直線l關于點A的伴隨點.若⊙O的半徑為r，且⊙O上恰有兩個點為直線l關于點A的伴隨點，直接寫出r的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）P1, P3；

（2）①點C的坐標為或或或；②

【解析】

根據直角點的定義判定即可.

（2）① ∠BAC=90°時，可設點C的坐標為（a，b）.

因為點A的坐標已知 ，點C在直線 上,可解得點C的坐標.

已知點B坐標同理可解點C坐標.

取AB的中點M，作CH⊥AB于點H，連接CM.

求出M坐標，算得CM長，在直角三角形CHM中利用勾股定理求得點C坐標.

② 關于r的取值范圍根據圖直接寫出即可.

解：（1）根據直角點的定義線段OM的直角點為 P1, P3 ；

（2）① 當∠BAC=90°時，設點C的坐標為（a，b）.

∵點A的坐標為，點C在直線上,

∴ b=4，，解得a=3.

∴點C的坐標為.

當∠ABC=90°時，設點C的坐標為（a，b）.

∵點B的坐標為，點C在直線上,

∴ b=，，解得a=13.

∴點C的坐標為.

當∠ACB=90°時如圖，設點C的坐標為（a, b）.

取AB的中點M，作CH⊥AB于點H，連接CM.

∵ 點C在直線上，

∴ 得. （*）

∵點A，B的坐標分別為，,

∴ 點M的坐標為，CM=5，.

∴ 由勾股定理得方程 . （**）

由（*），（**）得或，故C的坐標為或.

綜上，點C的坐標為或或或.

②如圖AP與x軸平行時伴2、伴3共圓，r=

當O、A、P三點共線時伴3、伴4共圓r=O伴3=

即

直接寫出r的取值范圍是：