Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax﹣2ax＋3(a≠0)，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，若OB=3OA．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接BC，點P、點Q是第一象限的拋物線上不同的兩點，是否存在這樣的P點，使得恒成立？若存在，請求P點的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，D為拋物線的對稱軸與x軸的交點，M為線段OC上一點，過點M作直線l交拋物線于E、F兩點，連接AE、OE、BF、DF若△AEO∽△DFB，求M點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x＋2x＋3；（2）P；（3）(0， )．

【解析】試題分析：（1）利用韋達定理求二次函數解析式.(2)聯立一次函數和二次函數求解.(3)設EF（帶k）的函數，與一元二次方程聯立，韋達定理,設而不求，利用相似求出k的關系，求出k的值,也就是求出EF函數的表達式，令x=0,求出M坐標.

試題解析：

解：⑴設A(x1，0)，B(x2，0)，

則x1、x2是關于x的方程ax﹣2ax＋3=0的兩根，

∴x1＋x2=2，x1·x2=，

∵OB=3OA，∴x2=﹣3x1，∴x1=﹣1，x2=3，∴a=﹣1，

∴拋物線的解析式為y=﹣x＋2x＋3．

⑵∵恒成立，∴最大，∵BC長不變，∴只需BC邊上的高最大，

∴點P是直線BC平移后與拋物線得到的唯一公共點，

∵B(3,0)、C(0,3)，∴BC的解析式為y=﹣x＋3，

∴設BC平移后的直線為y=﹣x＋b，由，

消去y，得到x﹣3x＋b﹣3=0，∵△=0，∴x1=x2=，

在y=﹣x＋2x＋3中，當x=時，y=，∴P．

⑶延長FE交x軸于N， D(1,0)，

∵△AEO∽△DFB，∴∠EAO=∠FDB，∠EOA=∠FBD，

∴EA∥FD，EO∥FB，∴ ,

設N(n，0)，∴ ，解得：n=﹣3，∴N(﹣3,0)，

∴，∴……①，

設EF的解析式為y=kx＋3k，由，

消去y整理，得：x＋(k﹣2)x＋3k﹣3=0，

∴……②，……③，

由①②得： ， ，

代入③，得，∴或 (舍)，

∴直線EF為，

∴M(0， )．