Question

【題目】如圖，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，以點O為圓心、2為半徑畫圓，點C是⊙O上任意一點，連接BC，OC．將OC繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，交⊙O于點D，連接AD．

（1）當(dāng)AD與⊙O相切時，

①求證：BC是⊙O的切線；

②求點C到OB的距離．

（2）連接BD，CD，當(dāng)△BCD的面積最大時，點B到CD的距離為　 　．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②點C到OB的距離是．（2）4+.

【解析】

（1）①先證明△BOC≌△AOD，則∠BCO=∠ADO=90°，BC是⊙O的切線；

②過點C作CE⊥OB，根據(jù)勾股定理得BC=2，由△BCO的面積公式可得OBCE=BCOC，求得CE=；

（2）當(dāng)點C在⊙O上運動到△BCD是等腰三角形，且BO的延長線與CD垂直位置時，△BCD的面積最大（如圖2），由等腰直角三角形的性質(zhì)可求得OF=，則點B到CD的距離為4+．

（1）①證明：∵AD與⊙O相切，

∴∠ADO＝90°，

∵∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠AOB﹣∠AOC＝∠COD﹣∠AOC，即∠COB＝∠AOD，

∵OB＝OA，OC＝OD，

∴△BOC≌△AOD（SAS）．

∴∠BCO＝∠ADO＝90°．

∴BC是⊙O的切線；

②如圖：

過點C作CE⊥OB，垂足為E，則CE即為點C到OB的距離，

在Rt△BOC中，∵OB＝4，OC＝2，

∴BC=，

∴OBCE＝BCOC，即4CE＝2×2，CE＝．

∴點C到OB的距離是；

（2）當(dāng)點C在⊙O上運動到△BCD是等腰三角形，且BO的延長線與CD垂直位置時，

△BCD的面積最大（如圖2），

此時OB＝4，OC＝OD＝2，

∵△COD是等腰直角三角形，

∴，

∴．

故答案為：4+．