Question

9．如圖，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從A開始沿AB邊向點B以1厘米/秒的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2厘米/秒的速度移動．如果P、Q分別是從A、B同時出發，
（1）那么幾秒后，△PBQ的面積等于9平方厘米？
（2）那么幾秒后，點P與點Q之間的距離可能為5厘米嗎？說明理由．
（3）那么幾秒后，五邊形APQCD的面積最小？最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）設xs后，△PBQ的面積等于9cm²，根據${S_{△PBQ}}=\frac{1}{2}PB•BQ$，列方程求解可得；
（2）由PB²+BQ²=PQ²得（6-x）²+（2x）²=5²，即可判斷；
（3）由S_{五邊形APQCD}=S_矩形ABCD-S_△PBQ=AB•BC-$\frac{1}{2}$PB•BQ=72-6x+x²=（x-3）²+63，即可得答案．

解答 解：（1）設xs后，△PBQ的面積等于9cm²，
此時，AP=xcm，PB=（6-x）cm，BQ=2xcm．
由${S_{△PBQ}}=\frac{1}{2}PB•BQ$，得  $9=\frac{1}{2}（6-x）•2x$．
解得 x₁=x₂=3．
答：3秒后，△PBQ的面積等于9平方厘米；

（2）點P與點Q之間的距離不可能為5厘米．
由PB²+BQ²=PQ²得（6-x）²+（2x）²=5²，
整理，得 5x²-12x+11=0，
容易判斷此方程無實數根．
答：點P與點Q之間的距離不可能為5厘米；

（3）由S_{五邊形APQCD}=S_矩形ABCD-S_△PBQ
=AB•BC-$\frac{1}{2}$PB•BQ
=6×12-$\frac{1}{2}$×（6-x）•2x
=72-6x+x²
=（x-3）²+63，
∵（x-3）²≥0，
∴當x-3=0時，即（x-3）²的值為0時是最小值，
∴當x=3時，（x-3）²+63有最小值，此時為63．
答：3秒后，五邊形APQCD的面積最小，最小值是63cm²．

點評 本題主要考查二次函數的應用，根據三角形的面積、勾股定理、五邊形的面積列出方程或函數解析式是解題的關鍵．