Question

如圖，直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，P為斜邊AB上一動點．PE⊥BC，PF⊥CA，則線段EF長的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：先由相似三角形的判定定理證明△BEP∽△BCA；再根據相似三角形的對應邊成比例得出=；最后在直角三角形中的勾股定理列出一元二次方程，求二次函數的最值．
解答：解：法一：設EC=y，FC=x．
∵∠C=90°，PE⊥BC，PF⊥CA，
∴四邊形EPFC是矩形，
∴EP=FC=x；
∵AC=1，BC=2，
∴BE=2-y，
∵∠C=90°，PE⊥BC，
∴PE∥AC，
∴∠BPE=∠A，
又∵∠B=∠B，
∴=，即y=2（1-x）；
∵EF²=x²+y²
∴EF²=5（x-）²+（0＜x＜1），
∴當x=時，EF_最小值==．

法二：連接PC，
∵PE⊥BC，PF⊥CA，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四邊形ECFP是矩形，
∴EF=PC，
∴當PC最小時，EF也最小，
即當CP⊥AB時，PC最小，
∵AC=1，BC=2，
∴AB=，
∴PC的最小值為：=．
∴線段EF長的最小值為．
點評：本題主要考查的是矩形的判定與性質、相似三角形的判定與性質以及二次函數的最值，是綜合性較強的一道題．