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先觀察下列等式，再回答問題：
①
1+
1
12
+
1
22
=1+
1
1
-
1
1+1
=1
1
2
；
②
1+
1
22
+
1
32
=1+
1
2
-
1
2+1
=1
1
6
；
③
1+
1
32
+
1
42
=1+
1
3
-
1
3+1
=1
1
12

（1）根據上面三個等式提供的信息，請猜想
1+
1
42
+
1
52
的結果，并進行驗證；
（2）根據上面的規律，可得
1+
1
92
+
1
102
=
 
．
（3）請按照上面各等式反映的規律，試寫出用n（n為正整數）表示的等式，并加以驗證．
分析：由題意：
(1)
1+
1
12
+
1
22
=1+
1
1
-
1
1+1
=1
1
2
；
(2)
1+
1
22
+
1
32
=1+
1
2
-
1
2+1
=1
1
6
；
(3)
1+
1
32
+
1
42
=1+
1
3
-
1
3+1
=1
1
12

（1）將
1+
1
32
+
1
42
中的3用4代替，4用5代替
（2）將
1+
1
32
+
1
42
中的3用9代替，4用10代替
（3）根據（1）、（2）總解規律，其中3用n，4用（n+1）代替．
解答：解：（1）
1+
1
42
+
1
52
=1+
1
4
-
1
4+1
=1
1
20

驗證：
1+
1
42
+
1
52
=
1+
1
16
+
1
25
= 
441
16×25
= 
21
20
 =1
1
20

（2）
1+
1
92
+
1
102
=1+
1
9
-
1
10
=1
1
90

（3）
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=1+
1
n2+n

驗證：
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=
n2(n+1)2+(n+1)2+n2 
n2(n+1)2

=
n2(n+1)2+n2+2n+1+n2
n2(n+1)2

=
n2(n+1)2 +2n(n+1)+1
n2(n+1)2

=
(n2+n+1)2
n2(n+1)2

=
n2+n+1
n(n+1)

=
n2+n
n2+n
+
1
n2+n

=1+
1
n2+n
點評：本題屬于探索規律型，主要考查學生的觀察及學習能力，并根據觀察總結規律的能力．這種類型的題目，能夠考察到學生的實際水平，因而同學們一定要足夠的重視．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

先觀察下列等式，再回答下列問題：
①
1+
1
12
+
1
22
=1+
1
1
-
1
1+1
=1
1
2
；
②
1+
1
22
+
1
32
=1+
1
2
-
1
2+1
=1
1
6
；
③
1+
1
32
+
1
42
=1+
1
3
-
1
3+1
=1
1
12
．
（1）請你根據上面三個等式提供的信息，猜想
1+
1
42
+
1
52
的結果，并驗證；
（2）請你按照上面各等式反映的規律，試寫出用含n的式子表示的等式（n為正整數）．

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科目：初中數學 來源： 題型：

先觀察下列等式，再回答下列問題①
1 +
1
12
+
1
22
=1+
1
1
-
1
2
=1
1
2
；②
1+
1
22
+
1
32
=1+
1
2
-
1
3
=1
1
6
；③
1+
1
32
+
1
42
=1+
1
3
-
1
4
=1
1
12
，請你根據上面三個等式提供的信息，猜想
1 +
1
92
+
1
102
的結果為
 
．

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科目：初中數學 來源： 題型：

先觀察下列等式，再完成題后問題：
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
1
4×5
=
1
4
-
1
5

（1）請你猜想：
1
2010×2011
=
 
．
（2）若a、b為有理數，且|a-1|+（ab-2）2=0，求：
1
ab
+
1
(a+1)(b+1)
+
1
(a+2)(b+2)
+…+
1
(a+2009)(b+2009)
的值．

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科目：初中數學 來源： 題型：

先觀察下列等式，再回答問題
1+
1
12
+
1
22
=1+
1
1
-
1
1+1
=1
1
2
；
1+
1
22
+
1
32
=1+
1
2
-
1
2+1
=1
1
6
；
1+
1
32
+
1
42
=1+
1
3
-
1
3+1
=1
1
12
．
（1）根據上面三個等式提供的信息，請猜想
1+
1
92
+
1
102
=
1
1
90
1
1
90
．
（2）請按照上面各等式反映的規律，試寫出用n（n為正整數）表示的等式，并加以驗證．

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科目：初中數學 來源： 題型：

先觀察下列等式，再回答問題：
①
1+
1
12
+
1
22
=1+
1
1
-
1
1+1
=1
1
2

②
1+
1
22
+
1
32
=1+
1
2
-
1
2+1
=1
1
6

③
1+
1
32
+
1
42
=1+
1
3
-
1
3+1
=1
1
12

根據上面三個等式提供的信息，請猜想
1+
1
42
+
1
52
的結果．

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同步練習冊答案
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