Question

【題目】在中，，，是的兩條角平分線，且，交于點．

（1）如圖1，用等式表示，，這三條線段之間的數量關系，并證明你的結論；

小東通過觀察、實驗，提出猜想：．他發現先在上截取，使，連接，再利用三角形全等的判定和性質證明即可．

①下面是小東證明該猜想的部分思路，請補充完整：

ⅰ）在上截取，使，連接，則可以證明與 全等，判定它們全等的依據是 ；

ⅱ）由，，是的兩條角平分線，可以得出 °；

②請直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的結論，完成證明猜想的過程．

（2）如圖2，若 ，求證：．

Answer 1

【答案】（1）①ⅰ）△BMF，邊角邊；ⅱ）60；②詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

（1）先得出結論；
①利用三角形內角和求出∠ABC+∠ACB=120°，進而得出∠FBC+∠FCB=60°，得出∠BFC=120°，即可得出結論；
②利用角平分線得出∠EBF=∠MBF，進而得出△BEF≌△BMF，求出∠BFM，即可判斷出∠CFM=∠CFD，即可判斷出△FCM≌△FCD，即可得出結論；
（2）先求出相關角的度數，進而判斷出BG=CE，進而判斷出△BGF≌△CEA，即可得出結論．

（1）

①如圖1，在上取一點，使，

ⅰ）是的平分線，

，

在和中，，

；

ⅱ），是的兩條角平分線，

，，

在中，，

，

，

，

；

故答案為：ⅰ）ΔBMF，SAS；ⅱ）60；

②由①知，，，

，

∵，

，

，

，

是的平分線，

，

在和中，

，

，

；

（2）如圖2，在中，，，

，

，是的兩條角平分線，

，，

，，

，

在的邊左側作，交的延長線于，

．

，

，

，

，

，

在和中，，

，

．