Question

如圖，矩形DEFG的一組對邊DE、GF截等邊三角形ABC的兩邊AB、AC均成三等分，點(diǎn)G、F分別在AB、AC上，已知圖中兩個(gè)三角形（陰影部分）的面積和為，則等邊△ABC的邊長為    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)等邊三角形的邊長為3a．根據(jù)已知條件“DE、GF截等邊三角形ABC的兩邊AB、AC均成三等分”求得HG=FI=a；然后根據(jù)兩直線GF∥BC同位角相等及矩形的內(nèi)角是90°求得∠DGH=30°，再在直角三角形中求得GD、DH的長度，從而求得S_△DGH=a²；同理求得S_△EFI=a²；最后根據(jù)“圖中兩個(gè)三角形（陰影部分）的面積和為”來解關(guān)于a的方程．注意a是正數(shù)．
解答：解：設(shè)等邊三角形的邊長為3a．
∵DE、GF截等邊三角形ABC的兩邊AB、AC均成三等分，
∴HG=FI=a；
∵GF∥BC，
∴∠AGF=∠ABC=60°，
∴∠DGH=90°-60°=30°；
∴DH=GH=a，GD=a；
∴S_△DGH=×a×a=a²；
同理求得，S_△EFI=×a×a=a²；
∵S_陰影=S_△DGH+S_△EFI=，
∴=a²+a²，
解得，a=2或a=-2（不合題意，舍去），
∴3a=6，即等邊三角形的邊長為6．
故答案是：6．
點(diǎn)評：本題綜合考查了矩形的性質(zhì)（對邊平行且相等，內(nèi)角是90°）、平行線的性質(zhì)（兩直線平行，同位角相等）及直角三角形的解法．解答此題時(shí)，注意等邊三角形的邊長3a的取值范圍3a＞0，即a＞0．