Question

如圖，矩形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，頂點D、G分別在邊AB、AC上，AH⊥BC，垂足為H．已知BC=12，AH=8．當矩形DEFG面積最大時，求矩形的長和寬．

Answer 1

分析：根據矩形面積=長×寬，可以先設出未知數DE=x，再把另一邊用x表示出來，求出面積表達式，再根據二次函數的性質求最大值即可．

解答：解：設DE=x，S_矩形=y，
∵四邊形DGFE是矩形，
∴DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴

AP

AH

=

DG

BC

，
∵AP=AH-PH=AH-DE=8-x，BC=12，AH=8，
∴

8-x

8

=

DG

12

，
∴DG=

3

2

（8-x），
∴y=DG•DE=

3

2

（8-x）x=12x-x²=-（x-6）²+36，
從而當x=6時，y有最大值36．此時矩形的寬為6，即四邊形DGEF為正方形，
答：矩形DEFG的長和寬都是6．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、矩形的性質以及二次函數的應用，以及二次函數求最值的問題，只要能熟練掌握，便能很容易的解決問題．