Question

在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉90º得到AE，連結EC．
小題1:（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．
①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖1，請你判斷線段CE、BD之間的位置和數量關系（直接寫出結論）；
②當點D在線段BC的延長線上時，請你在圖2畫出圖形，判斷①中的結論是否仍然成立，并證明你的判斷；

小題2:（2）如圖3，當點D在線段BC上運動時，DF⊥AD交線段CE于點F，且∠ACB="45" º，     AC＝，試求線段CF長的最大值．
 

Answer 1

小題1:解：（1）① 線段CE、BD之間的位置和數量關系分別是垂直和相等.
…………1分
② ①中的結論仍然成立.
證明：畫出圖形. …………2分.
              如圖1，由題意可知，，.
，
即.
∴ △BAD≌△CAE .
∴ BD=CE，.
∴.
即CE⊥BD.               …………4分
小題2:（2）如圖2，過點A作AH⊥AC，與CB的延長線交于點H.
由（1）的方法可證CE⊥BD.
過點A作AG⊥BC于點G.
可證△AGD∽△DCF.
∴ .
∵ ∠ACB="45" º，AC＝，
∴ .
設 .
∴ .
即，0＜x≤3.
∴ .
∴ 線段CF長的最大值為

略