Question

【題目】定義：在線段MN上存在點(diǎn)P、Q將線段MN分為相等的三部分，則稱(chēng)P、Q為線段MN的三等分點(diǎn)．

已知一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)M、N，且A、C為線段MN的三等分點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)C的左邊）．

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；

（2）①二次函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、A、C，試求此二次函數(shù)的解析式；

②過(guò)點(diǎn)A、C分別作AB、CD垂直x軸于B、D兩點(diǎn)，在此拋物線O、C之間取一點(diǎn)P（點(diǎn)P不與O、C重合）作PF⊥x軸于點(diǎn)F，PF交OC于點(diǎn)E，是否存在點(diǎn)P使得AP＝BE？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)？若不存在，試說(shuō)明理由；

（3）在（2）的條件下，將△OAB沿AC方向移動(dòng)到△O'A'B'（點(diǎn)A'在線段AC上，且不與C重合），△O'A'B'與△OCD重疊部分的面積為S，試求當(dāng)S＝時(shí)點(diǎn)A'的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為：（1，2）、（2，1）；（2）①拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+x；②P的坐標(biāo)為：（，）；（3）點(diǎn)A′的坐標(biāo)為：（，）

【解析】

（1）先求出M、N的坐標(biāo)，再根據(jù)A、C為線段MN的三等分點(diǎn)，即可求解；

（2）①設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為：y＝ax2+bx，將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入上式即可求解；

②設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+m），AP＝BE，則（m﹣1）2+（﹣m2+m﹣2）2＝，即可求解；

（3）S＝S△A′GK﹣S△A′HR＝×GK×A′K﹣HE×A′R＝（1﹣m）（2﹣m）﹣（1﹣m）（）＝，即可求解．

解：（1）一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)M、N，令x=0，y=3，則M的坐標(biāo)為（0，3），令y=0，x=3，則N的坐標(biāo)為（3，0），由A、C為線段MN的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為：（1，2）、（2，1）；

（2）①設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為：y＝ax2+bx，將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入上式得：，解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+x；

②存在，理由：

設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+m），

直線OC的表達(dá)式為：y＝x，則點(diǎn)B（1，），BE＝，

AP＝BE，則（m﹣1）2+（﹣m2+m﹣2）2＝，

化簡(jiǎn)得：7m2﹣15m+7＝0，

解得：m＝（舍去負(fù)值），

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，）；

（3）設(shè)直線A′O′交OC于點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)G，直線A′B′交OC于點(diǎn)R，交x軸于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)H作HE⊥A′B′于點(diǎn)E，

設(shè)點(diǎn)A向下平移m個(gè)單位向右平移m個(gè)單位得到A′（1+m，2﹣m），

設(shè)直線O′A′的表達(dá)式為：y＝2x+b，將點(diǎn)A′的坐標(biāo)代入上式并解得：

直線O′A′的表達(dá)式為：y＝2x﹣3m①，

故點(diǎn)G（，0），則GK＝1+m﹣＝1﹣m，

直線OC的表達(dá)式為：y＝x②，

聯(lián)立①②并解得：x＝2m，故點(diǎn)H（2m，m），則HE＝1+m﹣2m＝1﹣m，

點(diǎn)R（1+m，），則A′R＝2﹣m﹣（m+1）＝，

S＝S△A′GK﹣S△A′HR＝×GK×A′K﹣HE×A′R＝（1﹣m）（2﹣m）﹣·（1﹣m）＝，

解得：m＝，

故點(diǎn)A′的坐標(biāo)為：（，）．