Question

（2012•合川區模擬）如圖，規格為60cm×60cm的正方形地磚在運輸過程中受損，斷去一角，量得AF=30cm，CE=45cm，現準備從五邊形地磚ABCDE上截出一個面積為S的矩形地磚PMBN，則S最大值是（　　）

A．1800

B．2700

C．2812

D．3375

Answer 1

分析：首先設矩形PNBM的邊BN=xcm，NP=ycm，可得矩形PNBM的面積S=xy（30≤x≤60），然后過點P作PG⊥CD于G，利用相似三角形的性質，易求得y=-

1

2

x+75，然后又二次函數的最值問題，求得答案．

解答：解：設矩形PNBM的邊BN=xcm，NP=ycm，
則矩形PNBM的面積S=xy（30≤x≤60），
∴CN=（60-x）cm，AM=（60-y）cm，
∵AF=30cm，CE=45cm，
∴ED=15cm，DF=30cm，
過點P作PG⊥CD于G，
∴PG∥DF，
∴△PEG∽△FED，
∴

EG

PG

=

ED

DF

，
即：

NP-CE

CN

=

ED

DF

，
∴

y-45

60-x

=

15

30

，
∴y=-

1

2

x+75，
∴S=xy=-

1

2

x²+75x（30≤x≤60），
∵此二次函數的圖象開口向下，對稱軸為x=75，
∴當x≤75時，函數值是隨x的增大而增大，
對30≤x≤60來說，當x=60時，S有最大值，
S_最大=-

1

2

×60²+75×60=2700（cm²）．
故選B．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質、矩形的性質以及二次函數的性質．此題難度較大，注意掌握函數思想與數形結合思想的應用．