Question

【題目】如圖，已知拋物線C1：y＝a（x+2）2﹣5的頂點為P，與x軸相較于A，B兩點（點A在點B的左側），且點B的坐標為（1，0）

（1）求拋物線C1的函數解析式；

（2）如圖，拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，拋物線C3的頂點為M，當點P，M關于點O成中心對稱時．①求點M的坐標；②求拋物線C3的解析式；

（3）在（2）的條件下，設拋物線C3與x軸的正半軸交于點D，在直線PD的上方的拋物線C3上，是否存在點Q使得△PDQ的面積最大？若存在，求出當點Q的橫坐標為何值時△PDQ面積最大，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線C1的表達式為：y＝（x+2）2﹣5；

（2）①點M（2，5）；②拋物線C3表達式為：y＝﹣（x﹣2）2+5；

（3）S有最大值，此時x＝；Q的橫坐標為．

【解析】

（1）將點B的坐標代入拋物線C1的表達式并解得：a＝，即可求解；

（2）點P（2，5），則點M（2，5），則拋物線C3表達式中的a值為，點M（2，5），即可求解；

（3）△PDQ的面積S＝×QH×（xD﹣xP）＝（5+2）[﹣（x﹣2）2+5﹣x+]＝﹣x2+x+，即可求解．

解：（1）將點B的坐標代入拋物線C1的表達式并解得：a＝，

故拋物線C1的表達式為：y＝（x+2）2﹣5；

（2）①∵點P（﹣2，﹣5），則點M（2，5）；

②拋物線C3表達式中的a值為﹣，點M（2，5），

故拋物線C3表達式為：y＝﹣（x﹣2）2+5；

（3）y＝﹣（x﹣2）2+5，令y＝0，則x＝﹣1或5，故點D（5，0），

設PD直線為y=kx+b（k≠0）

將點P（﹣2，﹣5）、D（5，0）的坐標代入一次函數表達式得

解得：

∴直線PD的表達式為：y＝x﹣，

過點Q作y軸的平行線交直線PD于點H，

設點Q[x，﹣（x﹣2）2+5]，則點H（x，x﹣），

∴△PDQ的面積S＝×QH×（xD﹣xP）

＝（5+2）[﹣（x﹣2）2+5﹣x+]

＝﹣x2+x+，

∵﹣＜0，

∴S有最大值，此時x＝；

Q的橫坐標為．