Question

如圖，將邊長為6的正三角形ABC沿著MN折疊，使點A落在BC邊上的D點處．
（1）當折痕MN為△ABC的中位線時，求BD的長；
（2）試說明△BDM與△CND是否相似；
（3）若AM：AN=2：3時，求S_△ABD：S_△ADC．

Answer 1

解：（1）∵折痕MN為△ABC的中位線，
∴MN∥BC，AD⊥MN，
∴AD⊥BC，
又AB=AC，
∴BD=BC=3；

（2）根據題意，得△AMN≌△DMN，則∠MDN=∠MAN=60°，
∴∠BDM+∠CDN=120°，
又∠BDM+∠BMD=120°，
∴∠CDN=∠BMD，
又∠B=∠C=60°，
∴△BDM∽△CND；

（3）∵AM：AN=2：3，
∴DM：DN=2：3，
∵△BDM∽△CND，
∴S_△ABD：S_△ADC=4：9．
分析：（1）根據三角形的中位線定理，得MN∥BC，則此時AD⊥BC，根據等腰三角形的三線合一的性質，得D是BC邊的中點；
（2）根據兩個角對應相等即可證明三角形相似；
（3）根據AM：AN=2：3，則DM：DN=2：3，再結合（2）的結論，根據相似三角形的面積比是相似比的平方即可求解．
點評：此題綜合考查了等邊三角形的性質、折疊的性質、三角形的中位線定理、相似三角形的判定及性質．