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(2013•豐南區一模)如圖,將邊長為a的正六邊形A1A2A3A4A5A6在直線l上由圖1的位置按順時針方向向右作無滑動滾動,當A1第一次滾動到圖2位置時,頂點A1所經過的路徑的長為
4+2
3
3
πa
4+2
3
3
πa
分析:連A1A5,A1A4,A1A3,作A6C⊥A1A5,利用正六邊形的性質分別計算出A1A4=2a,A1A5=A1A3=
3
a,而當A1第一次滾動到圖2位置時,頂點A1所經過的路徑分別是以A6,A5,A4,A3,A2為圓心,以a,
3
a,2a,
3
a,a為半徑,圓心角都為60°的五條弧,然后根據弧長公式進行計算即可.
解答:解:連A1A5,A1A4,A1A3,作A6C⊥A1A5,如圖,

∵六邊形A1A2A3A4A5A6為正六邊形,
∴A1A4=2a,∠A1A6A5=120°,
∴∠CA1A6=30°,
∴A6C=
1
2
a,A1C=
3
2
a,
∴A1A5=A1A3=
3
a,
當A1第一次滾動到圖2位置時,頂點A1所經過的路徑分別是以A6,A5,A4,A3,A2為圓心,
以a,
3
a,2a,
3
a,a為半徑,圓心角都為60°的五條弧,
∴頂點A1所經過的路徑的長=
4+2
3
3
πa,
故答案為:
4+2
3
3
πa.
點評:本題考查了弧長公式:l=
nπr
180
,也考查了正六邊形的性質以及旋轉的性質,難度一般.
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3
4
3
4

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27
+|1-
3
|.

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