Question

如圖，將邊長為3的正六邊形A₁A₂A₃A₄A₅A₆，在直線l上由圖1的位置按順時針方向向右作無滑動滾動，當A₁第一次滾動到圖2位置時，頂點A₁所經過的路徑的長為（　　）

• A．(4+2

  3

  )π
• B．(8+4

  3

  )π
• C．(4+

  3

  )π
• D．(2+

  3

  )π

Answer 1

分析：連A₁A₅，A₁A₄，A₁A₃，作A₆C⊥A₁A₅，利用正六邊形的性質分別計算出A₁A₄=6，A₁A₅=A₁A₃=3

3

，而當A₁第一次滾動到圖2位置時，頂點A₁所經過的路徑分別是以A₆，A₅，A₄，A₃，A₂為圓心，以3，3

3

，6，3

3

，3為半徑，圓心角都為60°的五條弧，然后根據弧長公式進行計算即可．

解答：解：連接A₁A₅，A₁A₄，A₁A₃，作A₆C⊥A₁A₅，如圖，
∵六邊形A₁A₂A₃A₄A₅A₆為正六邊形，
∴A₁A₄=6，∠A₁A₆A₅=120°，
∴∠CA₁A₆=30°，
∴A₆C=

3

2

，A₁C=

3 3

2

，
∴A₁A₅=A₁A₃=3

3

，
當A₁第一次滾動到圖2位置時，頂點A₁所經過的路徑分別是以A₆，A₅，A₄，A₃，A₂為圓心，
以3，3

3

，6，3

3

，3為半徑，圓心角都為60°的五條弧，
∴頂點A₁所經過的路徑的長=

60π×3

180

+

60π×3 3

180

+

60π×6

180

+

60π×3 3

180

+

60π×3

180

=（4+2

3

）π．
故選A．

點評：本題考查了弧長的計算，掌握弧長的計算公式l=

nπR

180

是解答本題的關鍵，另外要掌握正六邊形的性質及旋轉的性質，有一定難度．