Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D、E分別是邊AB、AC的中點，延長DE至F，使得AF∥CD，連接BF、CF．

（1）求證：四邊形AFCD是菱形；

（2）當AC＝4，BC＝3時，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；

（2）如圖，作FH⊥BC交BC的延長線于H．在Rt△BFH中，根據勾股定理計算即可．

（1）∵AF∥CD，∴∠EAF=∠ECD．

∵E是AC中點，∴AE=EC．

在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED，∴AF=CD，∴四邊形AFCD是平行四邊形．

∵∠ACB=90°，AD=DB，∴CD=AD=BD，∴四邊形AFCD是菱形．

（2）如圖，作FH⊥BC交BC的延長線于H．

∵四邊形AFCD是菱形，∴AC⊥DF，EF=DEBC，∴∠H=∠ECH=∠CEF=90°，∴四邊形FHCE是矩形，∴FH=EC=2，EF=CH，BH=CH+BC．

在Rt△BHF中，BF．