Question

如圖，△ABC內接于⊙O，OC和AB相交于點E，點D在OC的延長線上，且∠B=∠D=∠BAC=30°．
（1）試判斷直線AD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）AB=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OA，求出∠AOC=2∠B=60°，根據三角形內角和定理求出∠OAD，根據切線判定推出即可；
（2）求出∠AEC=90°，根據垂徑定理求出AE，根據銳角三角函數的定義即可求出AC，根據等邊三角形的性質推出即可．
解答：解：（1）直線AD與⊙O相切．理由如下：
如圖，連接OA．
∵∠B=30°，
∴∠AOC=2∠B=60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠D=90°，
即OA⊥AD，
∵OA為半徑，
∴AD是⊙O的切線．

（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，
∴△ACO是等邊三角形，
∴∠ACO=60°，AC=OA，
∴∠AEC=180°-∠EAC-∠ACE=90°，
∴OC⊥AB，
又∵OC是⊙O的半徑，
∴AE=AB=6=3，
在Rt△ACE中，sin∠ACE==sin 60°，
∴AC=6，
∴⊙O的半徑為6．
點評：本題考查了切線的判定，含30度角的直角三角形，銳角三角函數的定義，等邊三角形的性質和判定的應用，主要考查了學生綜合運用性質進行推理的能力．