Question

4．己知x₁，x₂是方程2x²+3x-1=0的兩個根，利用根與系數的關系，求下列各式的值：
（1）（2x₁-3）（2x₂-3）
（2）x${\;}_{1}^{3}$x₂+x₁x${\;}_{2}^{3}$．

Answer 1

分析 由根與系數的關系可得出x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$、x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$．
（1）將（2x₁-3）（2x₂-3）變形為4x₁•x₂-6（x₁+x₂）+9，代入數據即可得出結論；
（2）將x${\;}_{1}^{3}$x₂+x₁x${\;}_{2}^{3}$變形為x₁•x₂•[$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂]，代入數據即可得出結論．

解答 解：∵x₁，x₂是方程2x²+3x-1=0的兩個根，
∴x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$．
（1）（2x₁-3）（2x₂-3）=4x₁•x₂-6x₁-6x₂+9=4x₁•x₂-6（x₁+x₂）+9=4×（-$\frac{1}{2}$）-6×（-$\frac{3}{2}$）+9=16；
（2）x${\;}_{1}^{3}$x₂+x₁x${\;}_{2}^{3}$=x₁•x₂•（${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$）=x₁•x₂•[$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂]=-$\frac{1}{2}$×[$（-\frac{3}{2}）^{2}$-2×（-$\frac{1}{2}$）]=-$\frac{13}{8}$．

點評 本題考查了根與系數的關系，解題的關鍵是：（1）將原式變形為4x₁•x₂-6（x₁+x₂）+9；（2）將原式變形為x₁•x₂•[$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂]．