Question

如圖，⊙O中，=，點C在上，BH⊥AC于H．求證：AH=DC+CH．

Answer 1

【答案】分析：首先在HA上截取HE=HC，連接BE，由BH⊥AC，根據垂直平分線的性質，即可得到BE=BC，得到∠BEC=∠BCE；再由AB=BD，得到∠ADB=∠BAD，而∠ADB=∠BCE，則∠BEC=∠BAD，根據圓內接四邊形的性質得∠BCD+∠BAD=180°，易得∠BEA=∠BCD，從而可證出△ABE≌△DBC，得到AE=CD，繼而可證得：AH=DC+CH．
解答：證明：在HA上截取HE=HC，連接BE，
∵BH⊥AC，
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
∵=，
∴∠ADB=∠BAD，AB=BD，
而∠ADB=∠BCE，
∴∠BEC=∠BAD，
又∵∠BCD+∠BAD=180°，∠BEA+∠BCE=180°，
∴∠BEA=∠BCD，
∵∠BAE=∠BDC，AB=DB，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=CD，
∴AH=AE+EH=DC+CH．
點評：此題考查了圓周角定理、圓的內接四邊形的性質、全等三角形的判定與性質以及線段垂直平分線的性質等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是準確作出輔助線，注意掌握數形結合思想的應用．