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2.如圖,拋物線y=m(x+2)2-5與x軸相交于A、B兩點,且AB=6,頂點為M.
(1)求拋物線的解析式;
(2)將此拋物線繞x軸的正半軸上一點C旋轉180°后,所得拋物線的頂點為N,與x軸分別交于D、E兩點(點D在點E的左邊),設點N的橫坐標為n,用含n的式子表示△MNE的面積S;
(3)在(2)的條件下,若以點M、N、E為頂點的三角形是直角三角形時,求點C的坐標.

分析 (1)根據函數值相等的兩點關于對稱軸對稱,可得A、B點坐標,根據待定系數法,可得函數解析式;
(2)根據旋轉的性質,可得N、E、D的坐標,根據x軸上兩點間的距離是大數減小數,可得CE的長,根據面積的和差,可得答案;
(3)根據勾股定理,可得MN2=(n+2)2+(5+5)2,ME2=(n+5)2+52,NE2=(n+3-n)2+52=34,根據勾股定理的逆定理,可得關于n的方程,根據解方程,可得n的值,可得C點坐標.

解答 解:(1)拋物線y=m(x+2)2-5,得
對稱軸為x=-2.
由拋物線y=m(x+2)2-5與x軸相交于A、B兩點,且AB=6,得
-2+3=1,即B(1,0),-2-3=-5,即A(-5,0),
將A點坐標代入函數解析式,得
9m-5=0,解得m=$\frac{5}{9}$,
拋物線的解析式y=$\frac{5}{9}$(x+2)2-5;
(2)如圖1

由旋轉的性質,得
N(n,5),E(n+3,0),D(n-3,0).
E、A關于C點對稱,得
C點坐標($\frac{n-2}{2}$,0).
CE的長為n+3-$\frac{n-2}{2}$=$\frac{n+8}{2}$.
S=S△MCE+S△NCE=$\frac{1}{2}$CE•|yM|+$\frac{1}{2}$CE•yN=$\frac{1}{2}$•$\frac{8+n}{2}$×|-5|+$\frac{1}{2}$•$\frac{8+n}{2}$×5=$\frac{5}{2}$n+20;
(3)MN2=(n+2)2+(5+5)2,ME2=(n+5)2+52,NE2=(n+3-n)2+52=34;
①當MN2+ME2=NE2時,(n+2)2+(5+5)2+(n+5)2+52=34,
化簡,得n2+7n+60=0,△=72-4×1×60=-191<0,方程無解;
②如圖2
,
當MN2+NE2=ME2時,(n+2)2+(5+5)2+34=(n+5)2+52,
化簡,得6n=88,解得n=$\frac{44}{3}$,
$\frac{n-2}{2}$=$\frac{\frac{44}{3}-2}{2}$=$\frac{19}{3}$,
此時C點坐標為($\frac{19}{3}$,0);
③如圖3

當NE2+ME2=MN2時,(n+5)2+52+34=(n+2)2+(5+5)2,
化簡,得6n=20,
解得n=$\frac{10}{3}$,
$\frac{n-2}{2}$=$\frac{\frac{10}{3}-2}{2}$=$\frac{2}{3}$,
此時C點坐標為($\frac{2}{3}$,0).
綜上所述:若以點M、N、E為頂點的三角形是直角三角形時,點C的坐標($\frac{19}{3}$,0),($\frac{2}{3}$,0).

點評 本題考查了二次函數綜合題,利用函數值相等的兩點關于對稱軸對稱得出A、B點坐標是解題關鍵,又利用了待定系數法求函數解析式;利用了旋轉的性質,又利用了面積的和差;利用勾股定理得出關于n的方程是解題關鍵,要分類討論,以防遺漏.

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