Question

如圖所示，已知△ABC是等邊三角形，點D、B、C、E在同一條直線上，且∠DAE=120°．
（1）圖中有相似三角形______對；
（2）探究DB、BC、CE之間的關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據相似三角形的判定及已知可得到題中存在的相似三角形；
（2）根據相似三角形的對應邊成比例及已知，即可求得DB、BC、CE之間的關系．
解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．
∴∠D+∠DAB=60°，∠E+∠CAE=60°．
∵∠DAE=120°，
∴∠DAB+∠EAC=60°．
∴∠D=∠CAE，∠E=∠DAB．
∵∠D=∠D，∠E=∠E，
∴△DAE∽△DBA∽△ACE．
∴相似三角形共有3對．

（2）∵△DBA∽△ACE，
∴DB：AC=AB：CE．
∵AB=AC=BC，
∴BC²=DB•CE．
點評：此題考查了相似三角形的判定和性質：
①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；
②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；
③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．