Question

【題目】已知：如圖，正方形ABCD，點E是DC邊上的一動點，過點C作AE的垂線交AE延長線于點F，過D作DH⊥CF，垂足為H，點O是AC中點，連HO．

（1）如圖1，當∠CAE＝∠DAE時，證明：AE＝2CF；

（2）如圖2，當點E在DC上運動時，線段AF與線段HO之間是否存在確定的數量關系？若存在，證明你發現的結論：若不存在，請說明理由；

（3）當E為DC中點時，AC＝2，直接寫出AF的長　 ．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AF＝OH，理由見解析；（3）．

【解析】

（1）如圖1，延長AD、CH交于M，證明△ACF≌△AMF（ASA），得CM=2CF，再證明△ADE≌△CDM（ASA），可得結論；

（2）如圖2，作輔助線，構建全等三角形，證明△OMC≌△OND（AAS），并證明四邊形MONH是正方形，得OH=OM，根據三角形中位線定理可得是結論；

（3）如圖1，證明△ADE∽△CFE，得CF=2EF，利用正方形的性質和勾股定理計算AD=CD=2，分別計算AE和EF的長可得結論．

（1）證明：如圖1，延長AD、CH交于M，

∵AF⊥CF，

∴∠AFC＝∠AFM＝90°，

∵∠DAE＝∠CAE，AF＝AF，

∴△ACF≌△AMF（ASA），

∴CF＝FM，

∴CM＝2CF，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠ADC＝90°，

∴∠ADC＝∠CDM＝90°，

∵∠ADE＝∠EFC＝90°，∠AED＝∠CEF，

∴∠ECF＝∠EAD，

∴△ADE≌△CDM（ASA），

∴AE＝CM＝2CF；

（2）解：AF＝OH，理由是：

如圖2，過O作ON⊥DH于N，OM⊥CH于M，連接OD，

∴∠OMH＝∠ONH＝∠MHN＝90°，

∴四邊形MONH為矩形，

∴∠MON＝90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴OD＝OC，∠DOC＝90°，

∴∠MOC＝∠DON，

∵∠OMC＝∠OND＝90°，

∴△OMC≌△OND（AAS），

∴OM＝ON，

∴矩形MONH是正方形，

∴OH＝OM，

△ACF中，∵OA＝OC，OM∥AF，

∴CM＝FM，

∴AF＝2OM，

∴＝，即AF＝OH；

（3）∵∠ADE＝∠EFC＝90°，∠AED＝∠CEF，

∴△ADE∽△CFE，

∴＝＝＝2，

∵四邊形ABCD是正方形，且AC＝2，

∴AD＝CD＝2，

∵E是CD的中點，

∴DE＝CE＝1，

由勾股定理得：AE＝＝＝，

設EF＝x，則CF＝2x，

∴CE＝x＝1，

x＝，

∴EF＝，

∴AF＝+＝．

故答案為：．