Question

已知函數y=mx²-3x+2（m是常數）．
（1）求證：不論m為何值，該函數的圖象都經過y軸上的一個定點；
（2）若一次函數y=x+1的圖象與該函數的圖象恰好只有一個交點，求m的值 及這個交點的坐標．

Answer 1

分析：（1）分兩種情況討論：
當m=0時，函數為一次函數，由于求證點在y軸上，令x=0，可求出圖象與y軸的交點；
當m≠0時，函數為二次函數，由于求證點在y軸上，令x=0，可求出圖象與y軸的交點．然后驗證該兩點為同一點即可．
（2）當m=0時，兩函數均為一次函數，必有一交點； 當m≠0時函數為二次函數，將兩函數組成方程組，轉化為一元二次方程，利用根的判別式求m的值即可．

解答：解：（1）當m=0時，函數為一次函數，
令x=0，
則y=2，該函數的圖象都經過y軸上的一個定點（0，2）；
當m≠0時，函數為二次函數，
當x=0時，y=2，該函數圖象過y軸上一個定點（0，2）．
可見，不論m為何值，該函數的圖象都經過y軸上的一個定點．
 
（2）當m=0時，兩函數均為一次函數且比例系數不同，必有一交點，列方程組得

y=-3x+2 y=x+1

；
解得

x= 1 4 y= 5 4

，即交點坐標為（

1

4

，

5

4

）；
當m≠0時，把y=x+1代入y=mx²-3x+2得，x+1=mx²-3x+2，整理得mx²-4x+1=0，
∵兩函數圖象只有一個交點；
∴△=0，即△=（-4）²-4m=0．
解得m=4，
把m=4代入方程mx²-4x+1=0得，4x²-4x+1=0，解得x=

1

2

，
把x=

1

2

代入一次函數y=x+1得，y=

1

2

+1=

3

2

，即兩函數交點坐標為（

1

2

，

3

2

）．
故當m=0時，兩函數交點坐標為（

1

4

，

5

4

）；
當m=4時，兩函數交點坐標為（

1

2

，

3

2

）．

點評：本題考查的是二次函數的性質、二次函數圖象上點的坐標特點及根的判別式，在解答此題時要注意分類討論，不要漏解．