Question

一次函數y=-2x+6與x軸交于A點，與y軸交于B點，點C的坐標為（2，0）．M（0，m）在B點的下方，以M為圓心，以MC為半徑畫圓．
（1）求出A，B點的坐標；
（2）若圓M與直線AB相切，求m的值；
（3）設圓M與直線AB相切時的圓心分別為M₁、M₂，求證：M₁C與M₂圓相切．若圓M與直線AB相交，求m的取值范圍．（不用寫出理由，只要寫出結論）

Answer 1

分析：（1）利用一次函數與y軸相交，即x=0時，y=6，與x軸相交，即當y=0時，x=3，即可得出答案；
（2）利用過M作ME⊥AB，那么，△BME∽△BAO，即得出比例式，再利用勾股定理可求出m的值；
（3）利用M₁O•M₂O=OC²，以及∠M₁OC=∠COM₂，得出△COM₁∽△M₂CO，即可得出M₁C與M₂圓相切進而求出m的取值范圍．

解答：解：（1）∵一次函數y=-2x+6，x=0時，y=6，當y=0時，x=3，
  所以一次函數y=-2x+6的圖象與x軸的交點A（3，0），與y軸交點B（0，6）
∴A，B點的坐標為：A（3，0），B（0，6）；

（2）根據圓心到直線的距離等于圓的半徑這個切線的定義列方程．
過M作ME⊥AB，那么，
△BME∽△BAO，
∴

ME

BM

=

AO

AB

，

ME

6-m

=

3

3 5

，
∴ME=

6-m

5

在Rt△MOC中，由勾股定理得：
MC=

m2+4

，
∴

6-m

5

=

m2+4

解得m=1或m=-4．
∴m的值為：1或-4；

（3）∵M₁O•M₂O=OC²，
∠M₁OC=∠COM₂，
∴△COM₁∽△M₂CO，
即：∠M₁CO=∠CM₂O，
∴∠M₁CO+∠OCM₂=90°，
∴M₁ C⊥M₂C．
∴M₁C與圓M₂相切．
若圓M與直線AB相交：1＜m＜6或m＜-4．

點評：此題主要考查了一次函數綜合應用以及相似三角形的判定與性質等知識，相似三角形的判定與性質經常與一次函數綜合應用，同學們應借助數形結合，得出三角形相似是解決問題的關鍵．