Question

已知：拋物線y=x²+2x-3與x軸的兩個交點分別為A、B，點A在點B的左側，與y軸交于點C，頂點為D，直線y=kx+b經過點A、C；
（1）求點D的坐標和直線AC的解析式；
（2）點P為拋物線上的一個動點，求使得△ACP的面積與△ACD的面積相等的點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線的解析式，可求出點A、C、D的坐標，進而可用待定系數法求出直線AC的解析式；
（2）由于△ACP和△ACD同底，若它們的面積相等，則點P到AC的距離等于點D到AC的距離；過點D作直線AC的平行線，那么此平行線與拋物線的交點必為所求的P點；設直線DP關于直線AC對稱的直線為l，那么直線l和直線AC的距離也等于D到AC的距離，因此直線l與拋物線的交點也符合點P的要求，所以點P的坐標共有3個，可先求出直線DP和直線l的解析式，然后聯立拋物線的解析式即可求出P點的坐標．
解答：解：（1）由拋物線解析式y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
得D（-1，-4）；（1分）
點A、C的坐標分別是A（-3，0），C（0，-3），
∵直線y=kx+b經過A、C兩點，
∴，
∴；
∴直線AC的解析式為y=-x-3；（2分）

（2）①過點D作與直線y=-x-3平行的直線，交拋物線于點P；
則S_△ACP=S_△ACD；
設平移后的直線的解析式為y=-x+t，
∵點D的坐標為（-1，-4）；
∴t=-5；
∴P（m，-m-5），
∴-m-5=m²+2m-3，
解得m=-1（舍去）或m=-2；
∴P（-2，-3）；（4分）
②直線DP：y=-x-5與y軸的交點坐標為（0，-5），
則直線DP關于直線y=-x-3對稱的直線l的解析式為y=-x-1，l交拋物線于P′，設P′（m′，-m′-1）；
由于點P’在拋物線y=x²+2x-3上，
∴-m′-1=m′²+2m′-3；
解得；（5分）
∴P′（）或P′（）；（7分）
∴所求點P的坐標分別是（-2，-3），（），（）．
點評：此題主要考查了二次函數圖象與坐標軸交點以及頂點坐標的求法、一次函數解析式的確定、三角形面積的求法以及函數圖象交點坐標的求法等重要知識，同時還考查了分類討論的數學思想，難度偏大．