Question

已知△ABC是等邊三角形，點D是射線BC上一動點（直D不與B、C重合），以AD為邊在AD的左側作等邊△ADE，過點E作BC的平行線交射線AB、AC于點F、G．
（1）當點D在線段BC上運動時，判斷四邊形BCGE是什么四邊形？說明理由；
（2）當點D在線段BC的延長線上運動時，（1）中的兩個結論還成立嗎？
（3）當點D在什么位置時，四邊形BCGE是菱形？說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據題意畫出圖形，由△ABC和△ADE是等邊三角形，易證得△ABE≌△ACD，繼而可證得BE∥CF，則可得四邊形BCEF是平行四邊形；
（2）首先根據題意畫出圖形，由△ABC和△ADE是等邊三角形，易證得△ABE≌△ACD，繼而可證得BE∥CF，則可得四邊形BCEF是平行四邊形；
（3）由四邊形BCGE菱形，可得當CD=CB時，四邊形BCEF是菱形．

解答：證明：（1）四邊形BCEF是平行四邊形，
理由如下：
如圖1，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°．
∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD．
即∠BAE=∠CAD．
在△ABE和△ACD中，

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD

，
∴△ABE≌△ACD（SAS）．
∴∠ABE=∠C=60°．
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABE=∠BAC．
∴BE∥CF．
又EF∥BC，
∴四邊形BCEF是平行四邊形；

（2）（1）中的結論仍然成立，
理由如下：
如圖2，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=60°．
∴∠BAC-∠EAG=∠DAE-∠EAG．
即∠BAE=∠DAC．
在△ABE和△ACD中，

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD

，
∴△AEB≌△ADC（SAS）．
四邊形BCEG是平行四邊形．
由△AEB≌△ADC得：∠ABE=∠ACD．
而∠ACD=180°-∠ACB=120°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+∠CBE=120°．
∴∠CBE=60°．
∵∠DCG=∠ACB=60°（對頂角相等），
∴∠DCG=∠CBE．
∴CG∥BE．
又BC∥EF，
∴四邊形BCEF是平行四邊形；

（3）當CD=CB時，四邊形BCEF是菱形，理由如下：
由△AEB≌△ADC得：BE=CD．
又∵CD=CB，
∴BE=CB．
由上知：四邊形BCEF是平行四邊形．
∴四邊形BCEF是菱形．

點評：此題考查了等邊三角形的性質、菱形的判定以及平行四邊形的性質與判定．此題難度較大，注意掌握數形結合思想的應用．