Question

如圖，要在河邊修建一個水泵站，分別向張村A和李莊B送水，已知張村A、李莊B到河邊的距離分別為2km和7km，且張、李二村莊相距13km．
（1）水泵應建在什么地方，可使所用的水管最短？請在圖中設計出水泵站的位置．
（2）如果鋪設水管的工程費用為每千米1000元，為使鋪設水管費用最節省，請求出最節省的鋪設水管的費用為多少元？

Answer 1

分析：（1）作點A關于河邊所在直線l的對稱點A′，連接A′B交l于P，則點P為水泵站的位置；
（2）利用了軸對稱的性質可得AP=A′P，在△AEB中利用勾股定理可以算出AE的長，再在△ACB中利用勾股定理算出A′B的長，根據兩點之間線段最短的性質即可求解．

解答：解：（1）作A關于l的對稱點A′，再連接A′B，A′B與l交于點P，P點就是水泵站的位置；

（2）過B點作l的垂線，過A′作l的平行線，
設這兩線交于點C，則∠C=90°．
又過A作AE⊥BC于E，
依題意BE=5，AB=13，
∴AE²=AB²-BE²=13²-5²=144．
∴AE=12．
由平移關系，A′C=AE=12，
△BA′C中，
∵BC=7+2=9，A′C=12，
∴A′B²=A′C²+BC²=9²+12²=225，
∴A′B=15．
∵PA=PA′，
∴PA+PB=A′B=15．
∴1000×15=15000（元）．
答：最節省的鋪設水管的費用為15000元．

點評：此題主要考查了最短路線問題，正確作出圖形，確定線路是解決此題的關鍵，也是難點．在直線L上的同側有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點