Question

（1996•山東）若x₁、x₂是方程x²+

p

x+q=0的兩個實根，且

x

2 1

+

x

2 2

+x1x2=

3

2

，

1

x 2 1

+

1

x 2 2

=

5

2

，求p和q的值．

Answer 1

分析：根據根與系數的關系得到x₁+x₂=-

p

，x₁•x₂=q，再把已知等式進行變形得到（x₁+x₂）²-x₁•x₂=

3

2

，

(x1+x2)2-2x1x2

x12x22

=

5

2

，可得到方程組

p-q= 3 2 p-2q q2 = 5 2

，解得

p= 1 2 q=-1

或

p= 21 10 q= 3 5

，然后根據二次根式有意義的條件以及根的判別式的意義可確定p和q的值．

解答：解：根據題意得x₁+x₂=-

p

，x₁•x₂=q，
∵

x

2 1

+

x

2 2

+x1x2=

3

2

，

1

x 2 1

+

1

x 2 2

=

5

2

，
∴（x₁+x₂）²-x₁•x₂=

3

2

，

(x1+x2)2-2x1x2

x12x22

=

5

2

，
∴

p-q= 3 2 p-2q q2 = 5 2

，
解得

p= 1 2 q=-1

或

p= 21 10 q= 3 5

，
∵p≥0，且△=（

p

）²-4q≥0，
∴p=

1

2

，q=-1．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程的根的判別式．