Question

如圖，在三角形△ABC中，AC=BC，若將△ABC沿BC平移BC長的距離，得△CEF，連接AE．
（1）AE與CF有何特定位置關系？說明理由；
（2）若∠B=60°，BC=6cm，求四邊形ABEF的面積．

Answer 1

分析：（1）猜想：AE與CF互相垂直平分．由于△CEF是△ABC沿BC平移得到的，那么可知AC∥EF，且AC=EF，根據AC=BC，可得四邊形ACEF是菱形，即可判定AE、CF互相垂直；
（2）首先過點A作AH⊥BC于點H，由∠B=60°，AB=BC，可證得△ABC是等邊三角形，即可求得AH的長，繼而求得答案．

解答：解：（1）AE⊥CF．
理由：連接AF，
∵將△ABC沿BC平移BC長的距離，得△CEF，
∴BC=CE，AC=EF，AC∥EF，
∴四邊形ACEF是平行四邊形，
∵AC=BC，
∴AC=CE，
∴?ACEF是菱形，
∴AE⊥CF；

（2）過點A作AH⊥BC于點H，
∵∠B=60°，AB=BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∵BC=6cm，
∴AB=AC=6cm，
∴AH=AB•sin60°=3

3

（cm），
∵四邊形ACEF是菱形，
∴AF=CE=AC=6cm，AF∥BE，
∴四邊形ABEF是梯形，BE=BC+CE=12（cm），
∴S_{四邊形ABEF}=

1

2

（AF+BE）•AH=

1

2

×（6+12）×3

3

=27

3

（cm²）．

點評：此題考查了菱形的判定與性質、等腰三角形的性質以及等邊三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．