Question

利用圖形來表示數量或數量關系，也可以利用數量或數量關系來描述圖形特征或圖形之間的關系，這種思想方法稱為數形結合．我們剛學過的《從面積到乘法公式》就很好地體現了這一思想方法，你能利用數形結合的思想解決下列問題嗎？
如圖，一個邊長為1的正方形，依次取正方形的，根據圖示我們可以知道：第一次取走后還剩，即=1﹣；前兩次取走+后還剩，即+=1﹣；前三次取走++后還剩，即++=1﹣；…前n次取走后，還剩　_________　，即　_________　=　_________　．
利用上述計算：
（1）=　_________　．
（2）=　_________　．
（3）2﹣2²﹣2³﹣2⁴﹣2⁵﹣2⁶﹣…﹣2²⁰¹¹+2²⁰¹²（本題寫出解題過程）

Answer 1

，+++…=1﹣；
（1）1﹣  （2）1﹣  （3）6

試題分析：（1）根據題意畫出圖形，依次取正方形面積的，，…找出規律即可；
（2）根據題意畫出圖形，依次取正方形面積的，，…找出規律即可；
（3）根據同底數冪的乘法進行計算即可．
解：∵第一次取走后還剩，即=1﹣；
前兩次取走+后還剩，即+=1﹣；
前三次取走++后還剩，即++=1﹣；
∴前n次取走后，還剩，即+++…=1﹣；
故答案為：，+++…=1﹣；
（1）如圖所示：

由圖可知，+++…+=1﹣．
故答案為：1﹣；
（2）如圖是一個邊長為1的正方形，根據圖示

由圖可知，+++…+=1﹣，
故答案為：1﹣；
（3）2﹣2²﹣2³﹣2⁴﹣2⁵﹣2⁶﹣…﹣2²⁰¹¹+2²⁰¹²
=2﹣2²⁰¹²（2^﹣2010+2^﹣2009+2^﹣2008+…+2^﹣1）+2²⁰¹²
=2﹣2²⁰¹²（1﹣2^﹣2010）+2²⁰¹²
=2﹣2²⁰¹²+4+2²⁰¹²
=6．
點評：本題考查的是整式的加減，根據題意畫出圖形，利用數形結合求解是解答此題的關鍵．