Question

如圖，P是正方形ABCD內一點，PA=a，PB=2a，PC=3a．將△APB繞點B按順時針方向旋轉，使AB與BC重合，連接PP′，得到△PBP′．
（1）求證：△PBP′是等腰直角三角形；
（2）猜想△PCP′的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）∵△APB繞點B按順時針方向旋轉得到△PBP′，∴旋轉角為90°，且BP與BP'是對應邊，可證△PBP′是等腰直角三角形；
（2）由（1）可知PB=PB'=2a，用勾股定理得PP′的長，又P′C=PA=a，PC=3a，在△PP′C中運用勾股定理判斷三角形的形狀．

解答：解：（1）證明：由圖形旋轉可知：△BAP≌△BCP′，
∴BP=BP′=2a，AP=CP′=a，∠ABP=∠CBP′．
由四邊形ABCD是正方形，得∠ABC=90°，
∴∠PBP′=90°，
∴△PBP′是等腰直角三角形．

（2）由（1）知△PBP′是等腰直角三角形，
∴PP′=

(2a)2+(2a)2

=2

2

a，
在△CPP′中，PP′=2

2

a，PC=3a，CP′=a，
且a²+（2

2

a）²=9a²=（3a）²，
∴△PCP′是直角三角形．

點評：本題考查旋轉的性質，旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．