Question

如圖，在圓內接四邊形ABCD中，CD為∠BCA的外角的平分線，F為上一點，BC=AF，延長DF與BA的延長線交于E．
（1）求證：△ABD為等腰三角形．
（2）求證：AC•AF=DF•FE．

Answer 1

【答案】分析：（1）CD為∠BCA的外角的平分線得到∠MCD=∠ACD，求出∠MCD=∠DAB推出∠DBA=∠DAB即可；
（2）由在△CDA與△FAE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE，得出△CDA∽△FAE，即可推出CD•EF=AC•AF．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，
∴∠DCB+∠DAB=180°，
∵∠MCD+∠DCB=180°，
∴∠MCD=∠DAB，
∵CD為∠BCA的外角的平分線，
∴∠MCD=∠ACD，
∵∠DCA和∠DBA都對弧AFD，
∴∠DCA=∠DBA，
∴∠DAB=∠DBA，
∴DB=DA，
∴△ABD為等腰三角形．

（2）由（1）知AD=BD，BC=AF，則弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC，
∴∠BDC=∠ADF，弧CD=弧DF，CD=DF，①
∴∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA，
即∠CDA=∠BDF，
而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180°，
∴∠FAE=∠BDF=∠CDA，
同理∠DCA=∠AFE
∴在△CDA與△FAE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE，
∴△CDA∽△FAE，
∴即CD•EF=AC•AF，
又由①有AC•AF=DF•EF命題即證．
點評：本題主要考查對圓內接四邊形，全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定，圓周角定理等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行推理是證此題的關鍵．