Question

如圖，已知正方形紙片ABCD的邊長為4，⊙O的半徑為1，圓心在正方形的中心上，將紙片按圖示方式折疊，使E A′恰好與⊙O相切于點A′，延長F A′交CD邊于點G，則A′G的長是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據翻折變換后EA′是⊙0的切線，然后利用切線的性質，有FG⊥EA′，因為點O是正方形的中心，所以AF=CG，再過點F作DC的垂線交DC于S，在直角△FGS中，設AF=x，由翻折可知A′F=x，由圓的半徑為1，利用FA+AO表示出OF，由FG=2OF表示出FG，而FS為正方形的邊長為4，GS等于正方形的邊長CD-CG-DS，而CG=DS=AF=x，故表示出SG，用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到線段AF的長，進而求出A′G的長．
解答：解：如圖，作FS⊥CD于點S點，
由翻折可知：△AFE≌△FA′E，
∴FA=FA′，
∵四邊形ADSF是矩形，
∴AF=SD，AD=FS，
又正方形是以O為對稱中心的中心對稱圖形，
∴AF=CG，FO=OG=FG，
設AF=A′F=DS=CG=x，
則GS=4-2x，FO=FA′+OA′=1+x，FG=2（1+x）；
在Rt△FSG中，根據勾股定理得FG²=GS²+FS²，
即[2（1+x）]²=（4-2x）²+4²，
解得x=，
∴A′G=FG-FA′=2（1+x）-x=．
故答案為：
點評：本題考查了中心對稱圖形的性質，正方形、矩形的性質，勾股定理，以及折疊的性質，利用了數形結合及方程的思想，要求學生理解正方形是中心對稱圖形，其對角線的交點為對稱中心，借助圖形，利用勾股定理列方程的思路來解決問題，熟練掌握性質與定理是解本題的關鍵．