Question

在△ABC中，AD是∠BAC的平分線．
（1）如圖①，求證：

S△ABD

S△ACD

=

AB

AC

；
（2）如圖②，若BD=CD，求證：AB=AC；
（3）如圖③，若AB=5，AC=4，BC=6．求BD的長．

Answer 1

分析：（1）作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由角平分線的性質可知，DE=DF，再由三角形的面積公式求解即可；
（2）根據BD=CD，可知S_△ABD=S_△ACD，根據（1）的結論即可得到

AB

AC

=1，即AB=AC；
（3）過A作AE⊥BC，垂足為E，由三角形的面積公式可得出

S△ABD

S△ACD

=

BD

DC

，再由（1）的結論即可求出BD的長．

解答：
解：（1）如圖①，證明：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD是∠BAC的平分線，
∴DE=DF
∴

S△ABD

S△ACD

=

1 2 AB•DE

1 2 AC•DF

=

AB

AC

；

（2）∵BD=CD，∴S_△ABD=S_△ACD
由（1）的結論

S△ABD

S△ACD

=

AB

AC

，
∴

AB

AC

=1，
∴AB=AC；

（3）如圖③，過A作AE⊥BC，垂足為E，
∵S△ABD=

1

2

BD•AE，S△ACD=

1

2

DC•AE，
∴

S△ABD

S△ACD

=

BD

DC

由（1）的結論

S△ABD

S△ACD

=

AB

AC

，
∴

BD

DC

=

AB

AC

=

5

4

，
∴BD=

10

3

，DC=

8

3

．

點評：本題考查的是角平分線的性質及三角形的面積公式，由角平分線的性質及三角形的面積公式作出輔助線是解答此題的關鍵．