Question

【題目】已知在同一平面直角坐標系中有函數y1＝ax2﹣2ax+b，y2＝﹣ax+b，其中ab≠0．

（1）求證：函數y2的圖象經過函數y1的圖象的頂點；

（2）設函數y2的圖象與x軸的交點為M，若點M關于y軸的對稱點M'在函數y1圖象上，求a，b滿足的關系式；

（3）當﹣1＜x＜1時，比較y1與y2的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）b＝﹣a；（3）當a＞0且﹣1＜x＜0時，ax（x﹣1）＞0，y1＞y2；當a＞0且0＜x＜1時，ax（x﹣1）＜0，y1＜y2；當a＜0且﹣1＜x＜0時，ax（x﹣1）＜0，y1＜y2；當a＜0且0＜x＜1時，ax（x﹣1）＞0，y1＞y2．

【解析】

（1）將函數y1的解析式配方，即可找出其頂點坐標，將頂點坐標代入函數y2的解析式中，即可證得結論；
（2）設函數y2的圖象與x軸的交點M（m，0），則點M關于y軸的對稱點M'（-m，0），根據圖象上點的坐標特征得出，解得b=-a；
（3）兩函數解析式做差，即可得出y1-y2=ax（x-1），根據x的取值范圍可得出x（x-1）的符號，分a＞0或a＜0兩種情況考慮，即可得出結論．

（1）證明：∵y1＝ax2﹣2ax+b＝a（x﹣1）2﹣a+b，

∴函數y1的頂點為（1，﹣a+b），

把x＝1代入y2＝﹣ax+b得，y＝﹣a+b，

∴函數y2的圖象經過函數y1的圖象的頂點；

（2）設函數y2的圖象與x軸的交點M（m，0），則點M關于y軸的對稱點M'（﹣m，0），

由題意可知，

由①得，

代入②得，且ab≠0，

解得b＝﹣a；

（3）∵y1＝ax2﹣2ax+b，y2＝﹣ax+b，

∴y1﹣y2＝ax（x﹣1）．

∵﹣1＜x＜1，

∴當﹣1＜x＜0，x（x﹣1）＞0．當0＜x＜1，x（x﹣1）＜0，當x＝0，x（x﹣1）＝0，

∴y1＝y2；

當a＞0且﹣1＜x＜0時，ax（x﹣1）＞0，y1＞y2；

當a＞0且0＜x＜1時，ax（x﹣1）＜0，y1＜y2；

當a＜0且﹣1＜x＜0時，ax（x﹣1）＜0，y1＜y2；

當a＜0且0＜x＜1時，ax（x﹣1）＞0，y1＞y2．