Question

凸四邊形ABCD的四個頂點滿足：每一個頂點到其他三個頂點距離之積都相等．則四邊形ABCD一定是（ ）
A．正方形
B．菱形
C．等腰梯形
D．矩形

Answer 1

【答案】分析：根據每一個頂點到其他三個頂點距離之積都相等，可得S=AB•AD•AC…①，S=BA•BD•BC…②，S=CA•CB•CD…③，S=DA•DB•DC…④，然后由②相等④得（1）由①相等③得（2），再由（1）除以（2）可得AB=CD．即可判定四邊形的形狀．
解答：解；以A點的角度看，S=AB•AD•AC…①
以B點的角度看，S=BA•BD•BC…②
以C點的角度看，S=CA•CB•CD…③
以D點的角度看，S=DA•DB•DC…④
由②、④得AB•BC=AD•CD…（1）
由①、③得BC•CD=AB•AD…（2）
由（1）÷（2）得，=，
∴CD²=AB²，即CD=AB，
同理可得：BC=AD，AC=BD，
∴四邊形ABCD是矩形．
故選D．
點評：此題主要考查等腰梯形的判定，解答此題的關鍵是利用每一個頂點到其他三個頂點距離之積都相等，列出各個等式，然后得出CD=AB，問題可解．