Question

(本題10分)
如圖，△ABC內(nèi)接于半圓，AB是直徑，過A作直線MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中點，連接BD交AC于G，過D作DE⊥AB于E，交AC于F．

（1）求證：MN是半圓的切線；
（2）求證：FD=FG；
（3）若△DFG的面積為4.5，且DG=3，GC=4，試求△BCG的面積．

Answer 1

（1）證明：是直徑，°即
∠MAC=∠ABC，°，即
所以MN是半圓的切線；
(2) ∵D是弧AC的中點，∴∠DBC=∠2
∵AB是直徑，∴∠CBG+∠CGB=90º
∵DE⊥AB，∴∠FDG+∠2=90º
∵∠DBC=∠2，∴∠FDG=∠CGB=∠FGD
∴FD=F∵∠ADB=90º，DE⊥AB，∴∠3=∠2
∵∠1=∠2，∴∠1=∠3
∴AF=DF=FG
（3）∵∠ADG=∠BCG，∠DGA=∠CGB
∴△ADG∽△BCG
∴
∴S△BCG=

此題考查切線的判定、圓的有關(guān)知識、三角形的面積。