Question

已知BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于E，DF∥AB交BC于F．
（1）求證：四邊形BFDE為菱形；
（2）若AB=6，BC=3，求菱形BFDE的邊長．

Answer 1

分析：（1）先證明四邊形BFDE是平行四邊形，再根據角平分線的定義可得∠ABD=∠CBD，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠CBD=∠BDE，然后求出∠ABD=∠BDE，根據等角對等邊的性質可得BE=DE，再根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得證；
（2）設菱形的邊長為x，先求出△AED和△ABC相似，再根據相似三角形對應邊成比例列式求解即可．

解答：（1）證明：∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四邊形BFDE為平行四邊形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD=∠BDE，
∴∠ABD=∠BDE，
∴BE=DE，
∴平行四邊形BFDE為菱形；

（2）解：設BE=DE=x，
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AE

AB

，
即

x

3

=

6-x

6

，
解得x=2．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，菱形的判定與性質，先證出平行四邊形，然后找出鄰邊相等是本題的難點．