Question

（2009•成都）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=a（x+1）²+c（a＞0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，其頂點為M，若直線MC的函數表達式為y=kx-3，與x軸的交點為N，且cos∠BCO=．
（1）求此拋物線的函數表達式；
（2）在此拋物線上是否存在異于點C的點P，使以N、P、C為頂點的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）過點A作x軸的垂線，交直線MC于點Q．若將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段NQ總有公共點，則拋物線向上最多可平移多少個單位長度？向下最多可平移多少個單位長度？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據MC的函數式不難得出C點的坐標應該是（0，-3），即c=-3，那么要求拋物線的解析式還缺少一個點的坐標，可根據OC=3，以及∠BCO的余弦值在直角三角形BCO中運用勾股定理求出OB的長，也就得出了B的坐標，進而可求出拋物線的解析式．
（2）假設存在這樣的點P，那么要分兩種情況進行討論：
①當PN是另外一條直角邊時，可先求出直線MC的函數解析式，然后確定出N點的坐標，如果PN與y軸的交點為N，那么直角三角形CND應該是個等腰直角三角形（∠OCN=45°），因此可求出OD的長，也就得出了D的坐標，然后可確定出直線PN的解析式，然后聯立拋物線和PN所在直線的解析式即可求出此時交點P的坐標．
②當PC是另外一條直角邊時，連接AC可發現，AC⊥CN（∠ACO=∠NCO=45°），而C點又正好在拋物線上，因此P與A重合，那么P點的坐標就是A點的坐標．
（3）①先求上移的單位，可先設出平移后的二次函數的解析式，然后聯立拋物線和直線NQ即MC的解析式，然后可得出一個一元二次方程，要想使兩函數有交點，那么△≥0，以此可求出平移單位的取值范圍，也就可求出最大的平移值．
②要求向下平移的最大單位，可求出當Q，N正好在拋物線上時，b的取值，那么根據MC的直線解析式，可得出Q，N點的坐標，那么當Q，N正好在拋物線上時，可用Q，N得出b的值，然后即可求出向下平移的最大單位．
解答：解：（1）∵直線MC的函數表達式y=kx-3．
∴點C（0，-3）
∴cos∠BCO==
∴可設|OC|=3t（t＞0），|BC|=t
則由勾股定理，得|OB|=t
而|OC|=3t=3，
∴t=1
∴|OB|=1，
∴點B（1，0）
∵點B（1，0）C（0，-3）在拋物線上
∴，
解得，
∴拋物線的函數表達式為y=（x+1）²-4=x²+2x-3．

（2）假設在拋物線上存在異于點C的點P，使以N，P，C為頂點的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形，
①若PN為另一條直角邊
∵點M（-1，-4）在直線MC上，
∴-4=-k-3，即k=1
∴直線MC的函數表達式為y=x-3
易得直線MC與x軸的交點N的坐標為N（3，0）
∵|OC|=|ON|
∴∠CNO=45°
∴在y軸上取點D（0，3），
連接ND交拋物線于點P
∵|ON|=|OD|
∴∠DNO=45°
設直線ND的函數表達式為y=mx+n
由
得
∴直線ND的函數表達式為y=-x+3
設點P（x，-x+3），代入拋物線的函數表達式，
得-x+3=x²+2x-3，
即x²+3x-6=0
解得x₁=，x₂=
∴y₁=，y₂=
∴滿足條件的點為P₁（，），p₂（，）．
②若PC是另外一條直角邊
∵點A是拋物線與x軸的另一交點，
∴點A的坐標為（-3，0）
連接AC，∵|OA|=|OC|，
∴∠OCA=45°，又∠OCN=45°
∴∠ACN=90°，
∴點A就是所求的點p₃（-3，0）
綜上所述，在拋物線上存在滿足條件的點，有3個，
分別為：P₁（，），p₂（，），p₃（-3，0）．

（3）若拋物線沿其對稱軸向上平移，
設向上平移b（b＞0）個單位可設函數表達式為y=x²+2x-3+b
由，
得x²+x+b=0．
∴要使拋物線與線段NQ總有交點，
必須△=1-4b≥0，即b≤，
∴0＜b≤
∴若拋物線向上平移，最多可平移個單位長度．
②若拋物線沿其對稱軸向下平移，設向下平移b（b＞0）個單位
可設函數表達式為y=x²+2x-3-b
∵當x=-3時，y=-b，當x=3時，y=12-b
易求得Q（-3，-6），又N（3，0）
∴要使拋物線與線段NQ總有交點，必須
-b≥-6或12-b≥0，即b≤6或b≤12
∴0＜b≤12
∴若拋物線沿其對稱軸向下平移，最多可平移12個單位長度
綜上可知，若拋物線沿其對稱軸向下平移，使拋物線與線段NQ總有公共點，
則向上最多可平移個單位長度，向下最多可平移12個單位長度．
點評：本題的關鍵是在于根據已知條件確定二次函數的解析式以及二次函數平移后解析式的變化情況，
要注意的是（2）中要分另一條直角邊的不同進行分類討論，不要漏解．