Question

【題目】如圖，已知等邊，以邊為直徑的半圓與邊，分別交于點、，過點作于點，

（1）判斷與的位置關系，并證明你的結論；

（2）過點作于點，若等邊的邊長為8，求，的長．

Answer 1

【答案】（1）DF與⊙O相切．理由見解析；（2），．

【解析】

（1）連接OD，如圖，易證△ODB是等邊三角形，則∠DOB=60°，進而可得∠DOB=∠ACB=60°，于是可得OD∥AC，由可得DO⊥DF，從而可得結論；

（2）連接CD，由CB是⊙O直徑可得DC⊥AB，進而可根據等邊三角形的性質求得AD的長，然后在Rt△ADF中根據30°角的直角三角形的性質即可求出AF的長，進一步即可求出FC的長，然后在Rt△CFH中根據30°角的性質可得CH的長，最后根據勾股定理即可求出結果．

（1）DF與⊙O相切．

證明：連接OD，如圖．

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠ACB=60°，

∵OD=OB，

∴△ODB是等邊三角形，

∴∠DOB=60°，

∴∠DOB=∠ACB=60°，

∴OD∥AC．

∵DF⊥AC，

∴DO⊥DF，

∴DF與⊙O相切；

（2）解：連接CD，

∵CB是⊙O直徑，∴DC⊥AB．

又∵AC=CB=AB，

∴D是AB中點，

∴．

在直角△ADF中，∠A=60°，∠AFD=90°，則∠ADF=30°，

∴，

∴FC=AC﹣AF=8﹣2=6．

∵FH⊥BC，∠C=60°，

∴∠HFC=30°，

∴，

∴．