Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是邊長為2，一個銳角等于60°的菱形紙片，小芳同學將一個三角形紙片的一個頂點與該菱形頂點D重合，按順時針方向旋轉三角形紙片，使它的兩邊分別交CB、BA（或它們的延長線）于點E、F，∠EDF=60°，當CE=AF時，如圖1小芳同學得出的結論是DE=DF．

（1）繼續旋轉三角形紙片，當CE≠AF時，如圖2小芳的結論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由；

（2）再次旋轉三角形紙片，當點E、F分別在CB、BA的延長線上時，如圖3請直接寫出DE與DF的數量關系；

（3）連EF，若△DEF的面積為y，CE=x，求y與x的關系式，并指出當x為何值時，y有最小值，最小值是多少？

Answer 1

【答案】(1)成立，證明見解析；（2）DF=DE．（3）當x=0時，y最小值=．

【解析】

試題分析：（1）如圖1，連接BD．根據題干條件首先證明∠ADF=∠BDE，然后證明△ADF≌△BDE（ASA），得DF=DE；

（2）如圖2，連接BD．根據題干條件首先證明∠ADF=∠BDE，然后證明△ADF≌△BDE（ASA），得DF=DE；

（3）根據（2）中的△ADF≌△BDE得到：S△ADF=S△BDE，AF=BE．所以△DEF的面積轉化為：y=S△BEF+S△ABD．據此列出y關于x的二次函數，通過求二次函數的最值來求y的最小值．

試題解析：（1）DF=DE．理由如下：

如圖1，連接BD．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB．

又∵∠A=60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴AD=BD，∠ADB=60°，

∴∠DBE=∠A=60°

∵∠EDF=60°，

∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF與△BDE中，

，

∴△ADF≌△BDE（ASA），

∴DF=DE；

（2）DF=DE．理由如下：

如圖2，連接BD．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB．

又∵∠A=60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴AD=BD，∠ADB=60°，

∴∠DBE=∠A=60°

∵∠EDF=60°，

∴∠ADF=∠BDE．

∵在△ADF與△BDE中，

，

∴△ADF≌△BDE（ASA），

∴DF=DE；

（3）由（2）知，△ADF≌△BDE．則S△ADF=S△BDE，AF=BE=x．

依題意得：y=S△BEF+S△ABD=（2+x）xsin60°+×2×2sin60°=（x+1）2+．

即y=（x+1）2+．

∵＞0，

∴該拋物線的開口方向向上，

∴當x=0即點E、B重合時，y最小值=．