Question

如圖，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=，

（1）判斷△ABC的形狀并證明你的結論；

（2）求⊙O的周長

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析（1）4π

【解析】

試題分析：利用圓周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，從而可判斷△ABC的形狀（2）由三角形內角和得∠ABC=60°，所以△ABC是等邊三角形，作OE⊥AC，連接OA，由垂徑定理得，AE=CE=AC=cm，再由余弦的概念求得半徑OA的長，由圓的周長公式求得周長．

解：（1）△ABC為等邊三角形證明如下：

∵∠BAC和∠BDC都是弧BC所對的圓周角

 ∴∠BAC=∠BDC

∵∠ACB=∠BDC=60°  ∴∠BAC =∠ACB =60°

∴△ABC為等邊三角形……………………3分

（2）過O點作OE⊥AC于E點，連接OA

∵AC=  ∴AE=CE=

∵△ABC為等邊三角形

∴∠OAE=∠BAC=30°   設OE=x，則OA=2x,

在Rt△OAE中，有，解之得x=1

∴OA=2   即⊙O的周長=2×2×π=4πcm

考點：圓周角定理；圓心角、弧、弦的關系；等邊三角形的性質；圓的認識；解直角三角形．

點評：本題考查了圓周角定理．同弧所對的圓周角相等，并且等于它所對的圓心角的一半．也考查了等邊三角形的判定方法．本題利用了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質，垂徑定理，余弦的概念，圓周長公式求解．