Question

9．從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線．

（1）如圖①，在△ABC中，CD為角平分線，∠A=40°，∠B=60°，求證：CD是△ABC的完美分割線；
（2）如圖②，在△ABC中，AC=2，BC=$\sqrt{2}$，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長．

Answer 1

分析 （1）根據三角形內角和定理求出∠ACB=80°，根據角平分線的定義得到∠ACD=40°，證明△BCD∽△BAC，證明結論；
（2）根據△BCD∽△BAC，得到$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$，設BD=x，解方程求出x，根據相似三角形的性質定理列式計算即可．

解答 解：（1）∵∠A=40°，∠B=60°，
∴∠ACB=80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=40°，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴△ACD是等腰三角形，
∵∠BCD=∠A=40°，∠CBD=∠ABC
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△BAC的完美分割線；
（2）∵△BCD∽△BAC，
∴$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$，
∵AC=AD=2，BC=$\sqrt{2}$，
設BD=x，則AB=4+x，
∴$\frac{{\sqrt{2}}}{x+2}=\frac{x}{{\sqrt{2}}}$，
解得x=-1±$\sqrt{3}$，
∵x＞0，∴BD=x=-1+$\sqrt{3}$，
∵△BCD∽△BAC，
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{BC}$，
∵AC=2，BC=$\sqrt{2}$，BD=-1+$\sqrt{3}$
∴CD=$\frac{{\sqrt{3}-1}}{{\sqrt{2}}}×2$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查的是相似三角形的性質、等腰三角形的判定與性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．