Question

如圖AB為⊙O的直徑，BC⊥AB于點B，連接OC交⊙O于E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于點G．
（1）求證：CD為⊙O切線；
（2）若sin∠BAD=，⊙O直徑為5，求DF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，由于AD∥OC，OA=OD=OB，那么∴∠BOC=∠DAB=∠CDO=∠DOC，而OD=OB，OC=OC，利用SAS可證△ODC≌△OBC，又BC⊥AB，故∠B=90°，所以∠ODC=90°，即CD是⊙O的切線；
（2）在△ADG中SinA=，可先設DG=4x，AD=5x，根據垂徑定理可知AB⊥DF，即∠AGD=90°，再利用勾股定理可求AG=3x，那么OG=5-3x，在Rt△DGO中，利用勾股定理可得（）²=（4x）²+（-3x）²，解得x₁=，x₂=0（舍去），那么DG=，則DF=．
解答：（1）證明：連接OD，
∵AD∥OC，
∴∠BOC=∠DAB，∠ADO=∠DOC，
又OA=OD，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠BOC=∠DAB=∠ADO=∠DOC，
在△ODC和△OBC中，
∴△ODC≌△OBC，（SAS）
又∵BC⊥AB，
∴∠B=90°．
∴∠ODC=∠B=90°，
∴CD為⊙O的切線；

（2）解：在△ADG中，sinA=，
設DG=4x，AD=5x，
∵DF⊥AB，∴G為DF的中點，
∴AG=3x，
又⊙O的半徑為，
∴OG=-3x，
∵OD²=DG²+OG²，
∴（）²=（4x）²+（-3x）²，
∴x=，
∴DG=4x=，
∴DF=2DG=2×=．
點評：本題利用了等邊對等角、平行線的性質、全等三角形的判定和性質、切線的判定、三角函數值、解一元二次方程、勾股定理．