Question

【題目】已知，如圖，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，點E，F分別在邊AB，BC上，且BF＝FC，連接DE，EF，并以DE，EF為邊作DEFG．

（1）求DEFG對角線DF的長；

（2）求DEFG周長的最小值；

（3）當DEFG為矩形時，連接BG，交EF，CD于點P，Q，求BP：QG的值．

Answer 1

【答案】（1）DF的長；（2）DEFG周長的最小值：；（3）BP：QG的值為或．

【解析】

（1）DEFG對角線DF的長就是Rt△DCF的斜邊的長，由勾股定理求解；
（2）DEFG周長的最小值就是求鄰邊2（DE+EF）最小值，DE+EF的最小值就是以AB為對稱軸，作點F的對稱點M，連接DM交AB于點N，點E與N點重合時即DE+EF=DM時有最小值，在Rt△DMC中由勾股定理求DM的長；
（3）DEFG為矩形時有兩種情況，一是一般矩形，二是正方形，分類用全等三角形判定與性質，等腰直角三角形判定與性質，三角形相似的判定與性質和勾股定理求解．

（1）如圖1所示：

連接DF，

∵四邊形ABCD是矩形，

∠C＝90°，AD＝BC，AB＝DC，

∵BF＝FC，AD＝2；∴FC＝1，

∵AB＝3；∴DC＝3，

在Rt△DCF中，由勾股定理得，

∴DF＝；

故DEFG對角線DF的長．

（2）如圖2所示：

作點F關直線AB的對稱點M，連接DM交AB于點N，

連接NF，ME，點E在AB上是一個動點，

①當點E不與點N重合時點M、E、D可構成一個三角形，

∴ME+DE＞MD，

②當點E與點N重合時點M、E（N）、D在同一條直線上，

∴ME+DE＝MD

由①和②DE+EF的值最小時就是點E與點N重合時，

∵MB＝BF，∴MB＝1，

∴MC＝3，

又∵DC＝3，

∴△MCD是等腰直角三角形，

∴MD＝，

∴NF+DF＝MD＝2，

∴lDEFG＝2（NF+DF）＝4；

（3）①當AE＝1，BE＝2時，過點B作BH⊥EF，

如圖3（甲）所示：

∵DEFG為矩形，

∴∠A＝∠ABF＝90°，

又∵BF＝1，AD＝2，

∴在△ADE和△BEF中有，

，

∴△ADE≌△BEF中（SAS），

∴DE＝EF，

∴矩形DEFG是正方形；

在Rt△EBF中，由勾股定理得：

EF＝，

∴BH，

又∵△BEF～△FHB，

∴，

HF＝，

在△BPH和△GPF中有：

，

∴△BPH∽△GPF（AA），

∴

∴PF＝，

又∵EP+PF＝EF，

∴，

又∵AB∥BC，EF∥DG，

∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，

∴△EBP∽△DQG（AA），

∴．

②當AE＝2，BE＝1時，過點G作GH⊥DC，

如圖3（乙）所示：

∵DEFG為矩形，

∴∠A＝∠EBF＝90°，

∵AD＝AE＝2，BE＝BF＝1，

∴在Rt△ADE和Rt△EFB中，由勾股定理得：

∴ED＝，

EF＝，

∴∠ADE＝45°，

又∵四邊形DEFG是矩形，

∴EF＝DG，∠EDG＝90°，

∴DG＝，∠HDG＝45°，

∴△DHG是等腰直角三角形，

∴DH＝HG＝1，

在△HGQ和△BCQ中有，

∴△HGQ∽△BCQ（AA），

∴，

∵HC＝HQ+CQ＝2，

∴HQ＝，

又∵DQ＝DH+HQ，

∴DQ＝1+＝，

∵AB∥DC，EF∥DG，

∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，

∴△EBP∽△DQG（AA），

∴，

綜合所述，BP：QG的值為或．